Bez kevorda

By 08.09.2021 08.09.2021

Ehtimollar nazariyasida, har qanday hodisaning to'ldiruvchisi [lateks] A [/lateks] hodisadir [lateks] [\ matn \ A] [/lateks], ya'ni [lateks] A [/lateks] sodir bo'lmagan hodisa. [Lateks] A [/lateks] hodisasi va uni to'ldiruvchi [lateks] [\ matn \ A] [/lateks] bir -birini inkor etuvchi va to'liqdir, ya'ni agar biri sodir bo'lsa, ikkinchisi bo'lmaydi va ikkala guruh ham barcha imkoniyatlarni qamrab oladi. Umuman olganda, faqat bitta hodisa bor [lateks] B [/lateks], shuning uchun [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] ham bir -birini istisno qiladi, ham to'liq; bu hodisa [lateks] A [/lateks] ning to'ldiruvchisi. [Lateks] A [/lateks] hodisasining to'ldiruvchisi odatda [lateks] A '[/lateks], [lateks] A^c [/lateks] yoki [lateks] \ bar [/lateks] sifatida belgilanadi.

Oddiy misollar

Bir -birini to'ldiruvchi hodisalarni namoyish qilish uchun keng tarqalgan misol - bu tanga aylanishi. Aytaylik, tanga o'girilib, uning chetiga tusha olmaydi. U boshga yoki dumga tushishi mumkin. Boshqa imkoniyatlar yo'q (to'liq) va ikkala hodisa ham bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin emas (o'zaro istisno). Bu ikkita voqea bir -birini to'ldiruvchi bo'lgani uchun, biz bilamizki, [lateks] P (\ matn ) + P (\ matn ) = 1 [/lateks].

Tangalarni ag'darish:Ko'pincha tennis o'yinlarida, birinchi navbatda kim xizmat qilishini aniqlash uchun tanga ishlatiladi, chunki bosh va dumlar bir -birini to'ldiruvchi hodisadir.

Qo'shimcha hodisalarning yana bir oddiy misoli - sumkadan to'p to'plash. Aytaylik, sumkada uchta plastik to'p bor. Biri ko'k, ikkitasi qizil. Agar har bir to'pni sumkadan chiqarib olish imkoniyati teng bo'lsa, biz bilamizki, [lateks] P (\ matn ) = \ frac [/lateks] va [lateks] P (\ matn ) = \ frac [/lateks]. Biz ko'k yoki qizilni (to'liq) tanlashimiz mumkin va bir vaqtning o'zida ikkalasini ham tanlay olmaymiz (ko'k rangni tanlash) va qizilni tanlash - bu qo'shimcha hodisalar va [lateks] P (\ matn ) + P (\ matn ) = 1 [/lateks].

Nihoyat, bir-birini to'ldiruvchi hodisalarning misoli bo'lmagan misolni ko'rib chiqaylik. Agar sizdan biron bir raqamni tanlash so'ralsa, siz bu raqamni oddiy yoki kompozit bo'lishi mumkin deb o'ylashingiz mumkin. Shubhasiz, raqam ham boshlang'ich, ham kompozitsion bo'lishi mumkin emas, shuning uchun ular bir -birini istisno qiladigan mulkka g'amxo'rlik qiladi. Biroq, boshlang'ich yoki kompozitsion bo'lish to'liq emas, chunki matematikadagi 1 -raqam "noyob" deb belgilanadi. ”

Qo'shish qoidasi

Qo'shish qoidasi, ikkita hodisaning ehtimolligi, ehtimollik yig'indisi, ikkalasi ham sodir bo'lish ehtimoli.

O'quv maqsadlari

Qo'shish qoidasi yordamida voqea ehtimolini hisoblang

Asosiy paketlar

Asosiy fikrlar

  • Qo'shish qoidasi: [lateks] P (A \ chashka B) = P (A)+P (B) -P (A \ qopqoq B). [/Lateks]
  • Oxirgi atama ikki marta hisobga olingan, bir marta [lateks] P (A) [/lateks] va bir marta [lateks] P (B) [/lateks], shuning uchun uni ikki barobar bo'lmasligi uchun bir marta olib tashlash kerak. hisoblangan.
  • Agar [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] ajratilgan bo'lsa, u holda [lateks] P (A \ qopqoq B) = 0 [/lateks], shuning uchun formula [lateks] P (A \) bo'ladi. chashka B) = P (A) + P (B). [/lateks]

Asosiy shartlar

  • ehtimollik: Voqea sodir bo'lishining nisbiy ehtimoli.

Qo'shish qonuni

Ehtimollar qo'shilish qonuni (ba'zida qo'shish qoidasi yoki yig'indisi qoidasi deb ham ataladi), [lateks] A [/lateks] yoki [lateks] B [/lateks] paydo bo'lish ehtimoli, [ lateks] A [/lateks] sodir bo'ladi va [lateks] B [/lateks] bo'ladi, minus [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] sodir bo'lish ehtimoli. Qo'shish qoidasi quyidagi formula bilan umumlashtiriladi:

[lateks] \ displey uslubi P (A \ kubogi B) = P (A)+P (B) -P (A \ qopqoq B) [/lateks]

Quyidagi misolni ko'rib chiqing. [Lateks] 52 [/lateks] o'yin kartasidan bitta kartani chiqarayotganda, yurak yoki yuz kartasi (qirol, malika yoki jek) olish ehtimoli qanday? [Lateks] H [/lateks] yurak chizishni, [lateks] F [/lateks] yuz kartasini chizishni bildirsin. Chunki [lateks] 13 [/lateks] yurak va jami [lateks] 12 [/lateks] yuz kartalari ([lateks] 3 [/lateks] har bir kostyum: belkurak, yurak, olmos va tayoqlar) bor, lekin faqat [lateks] 3 [/lateks] yurak kartalari, biz quyidagilarni olamiz:

[lateks] \ displaystyle P (H) = \ frac [/lateks]

[lateks] \ displaystyle P (F) = \ frac [/lateks]

[lateks] \ displaystyle P (F \ cap H) = \ frac [/lateks]

Qo'shish qoidasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

[lateks] \ displaystyle \ boshlanadi P (H \ chashka F) & = P (H)+P (F) -P (H \ qopqoq F) \\ & = \ frac +\ frac -\ frac \ oxiri [/lateks]

Oxirgi atamani olib tashlashning sababi shundaki, aks holda biz o'rta qismni ikki marta sanagan bo'lar edik (chunki [lateks] H [/lateks] va [lateks] F [/lateks] bir -biriga to'g'ri keladi).

Alohida hodisalar uchun qo'shimcha qoida

Faraz qilaylik, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] ajratilgan, ularning kesishuvi bo'sh. Shunda ularning kesishish ehtimoli nolga teng. Belgilarda: [lateks] P (A \ qopqoq B) = 0 [/lateks]. Qo'shimcha qonun quyidagicha soddalashtiriladi:

[lateks] P (A \ chashka B) = P (A) + P (B) \ qquad \ matn \ qquad A \ cap B = \ bo'shatish [/lateks]

[Lateks] \ vacyset [/lateks] belgisi bo'sh to'plamni bildiradi, bu shuni ko'rsatadiki, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] hech qanday umumiy elementlarga ega emas (ular yo'q) qoplash).

Misol:

Aytaylik, karta 52 ta o'yin kartasidan tashkil topgan: qirol yoki malikani olish ehtimoli qanday? [Lateks] A [/lateks] qirol chizilgan hodisani, [lateks] B [/lateks] malika chizilgan hodisani ifodalasin. Bu ikkita voqea bir -biriga bog'liq emas, chunki qirolicha ham malika emas. Shunday qilib:

Ko'paytirish qoidasi

Ko'paytirish qoidasida aytilishicha, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] ikkalasi ham paydo bo'lishi ehtimoli [lateks] B [/lateks] shartli ehtimollikdan [lateks] A [/lateks] [lateks] B [/lateks] paydo bo'lganda berilgan.

O'quv maqsadlari

[Lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] paydo bo'lish ehtimolini hisoblash uchun ko'paytirish qoidasini qo'llang.

Asosiy paketlar

Asosiy fikrlar

  • Ko'paytirish qoidasini quyidagicha yozish mumkin: [lateks] P (A \ qopqoq B) = P (B) \ cdot P (A | B) [/lateks].
  • Shartli ehtimollik ta'rifining ikkala tomonini maxrajga ko'paytirish orqali umumiy ko'paytirish qoidasini olamiz.

Asosiy shartlar

  • namuna maydoni: o'yin, tajriba yoki boshqa vaziyatning barcha mumkin bo'lgan natijalari.

Ko'paytirish qoidasi

Ehtimollar nazariyasida, ko'paytirish qoidasida, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] paydo bo'lish ehtimoli [lateks] A [/lateks] paydo bo'lish ehtimoli shartli ehtimollikdan bir necha baravar ko'p ekanligi aytilgan. [lateks] B [/lateks] paydo bo'ladi, agar biz bilsak [lateks] A [/lateks] allaqachon paydo bo'lgan. Bu qoidani quyidagicha yozish mumkin:

[lateks] \ displeystyle P (A \ qopqoq B) = P (B) \ cdot P (A | B) [/lateks]

[Lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] rolini o'zgartirib, biz qoidani quyidagicha yozishimiz mumkin:

[lateks] \ displeystyle P (A \ qopqoq B) = P (A) \ cdot P (B | A) [/lateks]

Shartli ehtimollik ta'rifining ikkala tomonini maxrajga ko'paytirish orqali umumiy ko'paytirish qoidasini olamiz. Ya'ni, [lateks] \ displaystyle P (A | B) = \ frac tenglamasida [/lateks], agar biz ikkala tomonni [lateks] P (B) [/lateks] ga ko'paytirsak, ko'paytirish qoidasini olamiz.

Qoidalar [lateks] P (B) [/lateks] va [lateks] P (A | B) [/lateks] yoki [lateks] P (A) [/lateks] va [lateks ] P (B | A). [/Lateks]

Misol

Aytaylik, biz kartochkalardan ikkita kartani chiqaramiz va [lateks] A [/lateks] birinchi karta - ace, va [lateks] B [/lateks] - ikkinchi karta bo'lgan voqea bo'lsin. ace, keyin:

[lateks] \ displaystyle P (A) = \ frac [/lateks]

[lateks] \ displaystyle P \ chap (| \ o'ng) = \ frac [/lateks]

Ikkinchi tenglamadagi maxraj [lateks] 51 [/lateks], chunki biz bilamizki, karta allaqachon chizilgan. Shunday qilib, jami [lateks] 51 [/lateks] qoldi. Biz, shuningdek, birinchi karta ace ekanligini bilamiz, shuning uchun:

[lateks] \ displaystyle \ boshlanadi P (A \ cap B) & = P (A) \ cdot P (B | A) \\ & = \ frac \ cdot \ frac \\ & = 0.0045 \ end [/lateks]

Mustaqil tadbir

E'tibor bering, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] mustaqil bo'lganda, bizda [lateks] P (B | A) = P (B) [/lateks], shuning uchun formula [ lateks] P (A \ qopqoq B) = P (A) P (B) [/lateks], biz oldingi bo'limda uchrashganmiz. Misol tariqasida, qolipni aylantirish va tangani aylantirish tajribasini ko'rib chiqing. O'yindagi [lateks] 2 [/lateks] va tanga quyruq olish ehtimoli [lateks] \ frac \ cdot \ frac = \ frac [/lateks], chunki ikkita voqea mustaqil.

Mustaqillik

Ikki hodisani mustaqil deb aytish, birining sodir bo'lishi boshqasining ehtimolligiga ta'sir qilmaydi.

O'quv maqsadlari

Mustaqillik kontseptsiyasini ehtimollik nazariyasi bilan izohlang

Asosiy paketlar

Asosiy fikrlar

Asosiy shartlar

Mustaqil voqealar

Ehtimollar nazariyasida, ikkita hodisani mustaqil deb aytish, birining sodir bo'lishi boshqasining sodir bo'lish ehtimoliga ta'sir qilmaydi. Boshqacha aytganda, agar [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] hodisalari mustaqil bo'lsa, [lateks] A [/lateks] ning paydo bo'lishi ehtimoli [lateks] B [ /lateks] uchraydi va aksincha. Mustaqillik kontseptsiyasi ikkitadan ortiq voqealar to'plamiga taalluqlidir.

Quyidagilardan biri to'g'ri bo'lsa, ikkita voqea mustaqil:

  1. [lateks] \ displaystyle P (A | B) = P (A) [/lateks]
  2. [lateks] \ displaystyle P (B | A) = P (B) [/lateks]
  3. [lateks] \ displey uslubi P (A \ \ matn \ B) = P (A) \ cdot P (B) [/lateks]

Ikki voqea mustaqil ekanligini ko'rsatish uchun yuqorida sanab o'tilgan shartlardan faqat bittasini ko'rsatish kerak. Agar bu shartlardan birortasi to'g'ri bo'lsa, demak ularning hammasi to'g'ri.

Belgilarni so'zlarga tarjima qilib, yuqorida sanab o'tilgan dastlabki ikkita matematik bayonda shartli hodisaning ehtimoli shartsiz hodisaning ehtimoli bilan bir xil ekanligi aytilgan. Mustaqil hodisalar uchun shart voqea ehtimolini o'zgartirmaydi. Uchinchi bayonotda aytilishicha, [lateks] A [/lateks] va [lateks] B [/lateks] hodisalarining yuzaga kelish ehtimoli, ehtimollikka ko'paytirilgan [lateks] A [/lateks] ehtimoli bilan bir xil. [lateks] B [/lateks] uchraydi.

Misol tariqasida, o'yin kartalarining to'liq pastki qismidan ketma -ket ikkita kartani tanlaysiz. Ikkala tanlov ham mustaqil emas. Birinchi tanlov natijasi qolgan palubani o'zgartiradi va ikkinchi tanlov ehtimoliga ta'sir qiladi. Bu "almashtirishsiz" tanlash deb ataladi, chunki ikkinchi karta tanlanmasidan oldin birinchi karta pastki qismga almashtirilmagan.

Biroq, siz ikkinchi kartani tanlashdan oldin, birinchi kartangizni pastki qismga qaytarib, kartani aralashtirib, "almashtirish bilan" ikkita kartani tanlashingiz kerak edi. Ikkala tanlov uchun ham kartalarning pastki qismi to'liq bo'lgani uchun, birinchi tanlov ikkinchi tanlovning ehtimolligiga ta'sir qilmaydi. O'zgartirish kartalarini tanlashda tanlov mustaqil bo'ladi.

Mustaqil voqealar: Dastlab bitta kartani tanlash orqali ikkita kartani tanlash, so'ngra ikkinchisini tanlashdan oldin uni pastki qismga almashtirish - mustaqil voqealarga misol.

Mustaqil voqealarga yana bir misol keltiradigan adolatli o'lim rolini ko'rib chiqing. Agar bir kishi ikkita rol o'lsa, birinchi rolning natijasi ikkinchi rol natijasi ehtimolini o'zgartirmaydi.

Misol

Ikkita do'st bilyard o'ynashadi va har bir turda kim birinchi o'ynashini aniqlash uchun tanga aylantirishga qaror qilishadi. Birinchi ikki turda tanga boshiga tushadi. Ular uchinchi raundni o'tkazishga qaror qilishdi va tangani yana aylantirishdi. Tanganing yana boshga tushish ehtimoli qanday?

Birinchidan, har bir tanga aylantirish - bu mustaqil hodisa. Tanganing qaysi tomoni ilgari sodir bo'lganiga bog'liq emas.

Har qanday tanga aylantirish uchun, [lateks] >[/lateks] tanganing boshga tushish ehtimoli bor. Shunday qilib, uchinchi davrada tanganing boshga tushish ehtimoli [lateks] >[/lateks].

Misol

Tangani ag'darganda, ketma -ket 5 [/lateks] dumini olish ehtimoli qanday?

Eslatib o'tamiz, har bir tanga siljishi mustaqil va quyruq olish ehtimoli har qanday burilish uchun [lateks] >[/lateks]. Shuni ham esda tutingki, quyidagi bayonot A va B har qanday mustaqil hodisalar uchun to'g'ri keladi:

[lateks] \ displey uslubi P (A \ \ matn \ B) = P (A) \ cdot P (B) [/lateks]

Nihoyat, mustaqillik kontseptsiyasi [lateks] 2 [/lateks] dan ortiq voqealar to'plamini qamrab oladi.

Shunday qilib, dumlarni [lateks] ketma -ket 4 [/lateks] marta olish ehtimoli:

Eksperimental ehtimolliklar

Eksperimental ehtimollik - bu voqea sodir bo'lgan natijalar sonining eksperimentdagi sinovlarning umumiy soniga nisbati.

O'quv maqsadlari

Berilgan ma'lumotlarga asoslanib, hodisaning empirik ehtimolini hisoblang

Asosiy paketlar

Asosiy fikrlar

Asosiy shartlar

Eksperimental (yoki empirik) ehtimollik bir qancha sinovlardan olingan ma'lumotlarga tegishli. Bu nazariyadan emas, balki tajribadan hisoblangan ehtimollik. Agar [lateks] x [/lateks] sinovlari namunasi kuzatilsa, natijada [lateks] e [/lateks], [lateks] n [/lateks] marta sodir bo'ladi, hodisa [lateks] e [ /lateks] [lateks] n [/lateks] va [lateks] x [/lateks] nisbati bilan hisoblanadi.

Eksperimental ehtimollik nazariy ehtimollikdan farq qiladi, bu biz kutgan narsadir. Masalan, agar biz tanga [lateks] 10 [/lateks] aylantirsak, uning boshiga [lateks] 5 [/lateks] marta yoki yarmiga tushishini kutishimiz mumkin. Biz bilamizki, bu amalda bo'lmaydi. Agar biz ko'proq sinov o'tkazsak, ko'pincha tajriba ehtimolligi nazariy ehtimollikka yaqinlashadi. Shu sababli, odatda katta namunaviy o'lchamlar (yoki ko'p sonli sinovlar) baholanadi.

Statistik nuqtai nazardan, empirik ehtimollik - bu ehtimollik bahosi. Oddiy holatlarda, agar sinov natijasi faqat ko'rsatilgan voqea sodir bo'lganligini aniqlasa, binomial taqsimot yordamida modellashtirish to'g'ri bo'lishi mumkin. Binomial taqsimot - muvaffaqiyatlar sonining [lateks] n [/lateks] mustaqil ha/yo'q tajribalar ketma -ketligida diskret ehtimollik taqsimoti. Bunday hollarda empirik ehtimollik eng ehtimolli bahodir.

Agar sinov ko'proq ma'lumotni taqdim etsa, statistik model ko'rinishidagi boshqa taxminlarni qabul qilish orqali empirik ehtimollikni yaxshilash mumkin: agar bunday model o'rnatilgan bo'lsa, undan ushbu hodisaning ehtimolini baholash uchun foydalanish mumkin. Masalan, har bir mumkin bo'lgan qiymatga ko'p diskret holatlarda ehtimollik tayinlanishi mumkin: qolipni tashlashda har bir [lateks] 1 [/lateks] dan [lateks] 6 [/lateks] har birining [ lateks] \ frac [/lateks].

Afzalliklar

Ehtimollarni empirik ehtimolliklar yordamida baholashning afzalligi shundaki, bu protsedura bir nechta taxminlarni o'z ichiga oladi. Masalan, erkaklar populyatsiyasi o'rtasida ikkita shartga javob beradigan ehtimolni baholang:

  1. Ularning balandligi olti futdan oshadi.
  2. Ular malina murabbo o'rniga qulupnay murabbo afzal.

To'g'ridan -to'g'ri taxminni birlashtirilgan holatning empirik ehtimolini berish uchun ikkala shartga ham javob beradigan erkaklar sonini hisoblash orqali topish mumkin.

Balandligi olti futdan oshadigan erkaklar sonini malina murabbo o'rniga qulupnay murabbolarini afzal ko'rgan erkaklar ulushiga ko'paytirish orqali muqobil baholashni topish mumkin, lekin bu baho ikki shart statistik jihatdan mustaqil degan taxminga asoslanadi.

Kamchiliklari

Ampirik ehtimollarni ishlatishning kamchiliklari shundaki, nazariyani "mantiqiy" tushunmasdan, noto'g'ri xulosalar chiqarish oson. Olti qirrali yuz marta o'ralgan holda, rulonlarning [lateks] \ frac [/lateks] ustidan [lateks] 4 [/lateks] ga tushishi mumkin. Biz intuitiv ravishda bilamizki, istalgan songa tushish ehtimoli keyingi raqamga tushish ehtimoliga teng bo'lishi kerak. Tajribalar, ayniqsa namuna olish hajmi past bo'lganlar, boshqacha taklif qilishi mumkin.

Bu kamchilik, nolga juda yaqin yoki ehtimolga yaqin bo'lgan ehtimollarni baholashda ayniqsa muammoli bo'ladi. Masalan, [lateks] 1 [/lateks] va [lateks] 1000 [/lateks] orasidan raqamni chizish ehtimoli [lateks] \ frac [/lateks]. Agar [lateks] 1000 [/lateks] tiraj olinsa va birinchi chizilgan raqam [lateks] 5 [/lateks] bo'lsa, [lateks] 5 [/lateks] chizish uchun 999 ta [lateks] durang qoladi. yana va shu tariqa [lateks] 5 [/lateks] chizish ehtimoli ikki baravar ko'p bo'lgan eksperimental ma'lumotlar mavjud.

Bunday hollarda, bunday ehtimolliklarni nisbiy aniqlik standarti bo'yicha baholash uchun juda katta namuna o'lchamlari kerak bo'ladi. Bu erda kontekstga qarab statistik modellar yordam berishi mumkin.

Misol uchun, fevral oyida har qanday joyda fevral oyidagi eng yuqori kunlik haroratning eng pasti Selsiy bo'yicha nol darajadan past bo'lish ehtimolini baholang. Bu ehtimolni taxmin qilish uchun o'tgan yillardagi bunday haroratlar rekordidan foydalanish mumkin edi. Modelga asoslangan alternativa, ehtimollik taqsimoti oilasini tanlash va uni o'tgan yillar qiymatlarini o'z ichiga olgan ma'lumotlar to'plamiga moslashtirish bo'ladi. O'rnatilgan taqsimot istalgan ehtimollikning alternativ bahosini beradi. Bu muqobil usul, yozuvdagi barcha qiymatlar noldan katta bo'lsa ham, ehtimollik bahosini berishi mumkin.