Rubik kubigi ichidagi ajoyib matematik

By 08.09.2021 08.09.2021

Jumboqni hal qilmoqchimisiz? Keyin raqamlarni bilishingiz kerak.

Rubik kubi chiqarilgandan beri deyarli yarim milliardlik tinkerlar uning sirli sirlarini ochib bera olamiz deb o'ylashadi, faqat uning aqldan ozgan sirlari bilan jahldor bo'lishadi. Endi, chuqur matematikadan foydalanib, jumboqni bir marta echish vaqti keldi. Kubning tom ma'noda ichi plastikdan yasalgan, ammo uning haqiqiy ichagi raqamlardan boshqa narsa emas. Sho'ng'iymiz.

Bloklarni ajratish

3x3x3 Rubik kubikasi ba'zi bir asoslardan boshlab oltita yuzga ega, ularning har biri har xil rangda. Har bir yuzning o'rtasi kubni ushlab turadigan yadro iskala bilan biriktirilgan, shuning uchun ular o'z joylarida aylanishdan boshqa harakat qilmaydi. Natijada, bir xil ranglar har doim bir-biriga qarama-qarshi bo'lib qoladi; standart kubda oq rang sariq rangga, qizil to'q sariq rangga, ko'k esa yashil rangga qarama-qarshi.

Rubik kubini büstü bilan oching va u uch turdagi bloklardan yasalganini ko'rasiz. Birinchidan, har bir yuzning markazini bog'laydigan markaziy iskala mavjud. Keyin kubiklar bor - kichik 1x1x1 bloklari uchun taxallus. Burchak kubiklarining uchta rangli tomoni bor, chekka kubiklarning ikkitasi. Rubik kubikida bitta yadro, sakkizta burchak kubik va 12 ta kubik bor.

Ushbu raqamlar bilan darhol bajariladigan matematik - bu Rubik kubini aylantirishning umumiy soni: 43,252,003,274,489,856,000. Matematik tarzda yozilgan bu raqam (3 8 8!) (2 12 12!) / 12. Mana bu qanday qilib birlashtiriladi.

Birinchi davr, 3 8, sakkiz burchakli kubiklarni aylantirishning har bir usulini hisoblaydi. Burchak kubigi uch xil usulda aylantirilgan uyaga kirishi mumkin. Bu sakkizta burchak kubiklarining har biri uchun 3 koeffitsienti, shuning uchun ular 3 8 ga ko'payadi.

Keyingi har bir kubik kubi qaerga boradi. Sakkizta burchakli uyalar mavjud, shuning uchun birinchi burchak kubikida sakkizta variant mavjud. Ikkinchi burchak kubigida ettita variant, chap tomonda oltitasi bilan va hokazo, oxirgi burchak uyasiga o'tishi kerak bo'lgan so'nggi burchak kubigigacha qoldiriladi. Bu 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 hisobini beradi, ya'ni 8 !, yoki "sakkiz faktorial".

Shunday qilib, birinchi bo'lak, (3 8 8!), Burchak kubiklari kubga moslasha oladigan har qanday usulni hisoblaydi. 3 8 ularning yo'nalishidir, 8 esa! ularning joylashuvi.

Keyingi qism, (2 12 12!), Xuddi shu fikr, endi chekkalari uchun. Chegaralar faqat ikkita yo'nalishga ega, shuning uchun ularning 12 tasi jami 2 12 ta yo'naltirilgan aralashmalarga ega. Keyin 12 ta joy bor, shuning uchun 12 ta! bu ularning ushbu joylarga boradigan yo'llarining soni.

(3 8 8!) (2 12 12!) / 12 formuladan qolgan narsa - bu 12 ga bo'linish. Bu Rubik kubigi haqida tez-tez sezilib turadigan, ammo har doim ham tushunarsiz bo'lgan haqiqat bilan bog'liq. Quyida keltirilgan fikr tajribasi (ehtimol siz buni haqiqatan ham qilgansiz!):

Siz Rubik kubini ochib, har bir kubikni olib tashladingiz va keyin barcha kubiklarni tasodifiy uyalarga qaytarib qo'ying (burchak kubiklari faqat burchaklariga, chekka kubiklari esa faqat chetlariga). Siz oddiy kodlangan kubga o'xshash narsani olasiz va shu paytgacha biz buni qilishingiz mumkin bo'lgan barcha usullarni hisobladik (3 8 8!) (2 12 12!). Endi, har doimgidek, bu maydalangan kubni bir-biridan ajratmasdan hal qilish mumkinmi?

Javob yo'q.

Bu ko'plab yangi boshlovchi kublarni ushlagan tuzoq. Agar siz mashq qilsangiz va echilgan kubni chayqashni xohlasangiz, kubni buzilmasdan ushlab turishingiz va uni qo'lda to'plashingiz kerak. Agar siz uni ajratib qo'ysangiz va kubiklarni tasodifiy ravishda yig'ib qo'ysangiz, unda bu hal qilinishi mumkin bo'lgan 12 dan 1tagina imkoniyat bor.

Javob algoritmlarda

Nima uchun bu 12dan 1tasi ekanligini tushunishni xohlaysizmi? Buni tushunishning yaxshi ingl. Usuli bor. Buzilgan va kubiklari bilan tasodifiy aralashtirilgan holda yig'ilgan kub quyidagi vakillardan biriga hal etilish imkoniyatiga ega bo'ladi.

Biz ularni 12-ga olib keladigan turli xil omillarni ajratish uchun joylashtirdik. 1-qator normal burchaklarga ega. 2 va 3 qatorlarda bitta burchak joyida aylantiriladi. 1-ustun normal qirralarga ega. 2-ustunda bitta chekka o'rniga o'girilgan. 3-ustunda ikkita chekka almashtirilgan. Va nihoyat, 4-ustunda bitta chetga burilib, ikkita chetga almashtirildi.

Shunday qilib, yuqoridagi fotosuratdagi 12 kubni bir-biriga aylantirish mumkin emas. Va bulardan biriga aylantira olmaydigan 13-chi kelishuv yo'q. Biz buni qayerdan bilamiz?

Bu erda kub yuzlarini siljitish orqali nima qilish mumkin va mumkin emasligi bilan bog'liqlik mavjud. Harakatlarning ketma-ketligi kubni ixlosmandlari tomonidan ko'pincha "algoritm" deb nomlanadi. Izlanayotgan algoritmlar - bu kubiklarning bir nechtasini harakatga keltirib, qolganlarini tegmasdan qoldiradigan algoritmlar. Algoritmlarning cheklanishi bu 12 raqamining kalitidir.

Bu 12 ko'paytiriladigan uchta omildan kelib chiqadi: 12 = 3 * 2 * 2. Biz 3 koeffitsient bilan, ikkita ikkita omil bilan kurashishimiz kerak.

3 faktor quyidagicha kelib chiqadi: Ikki xil burchakning har birini burish algoritmi mavjud, ammo bitta burchakni burish algoritmi yo'q (qolgan hamma narsani harakatsiz qoldirgan holda). Shunday qilib, agar siz oddiy Rubik kubini ushlasangiz, bitta burchakni ochib, uni burama qilib almashtirsangiz, uni hal qilish imkonsiz bo'lib qoladi va siz bizning jadvalimizning yuqori chap burchagidan uning ostidagi joylardan biriga o'tdingiz.

Ammo, agar siz ushbu jarayonni takrorlasangiz va yana bitta burchakni burab qo'ysangiz, bu ikkinchi omilni qo'shmaydi. Endi ikkita burchak o'ralganligi sababli, biz ikkita burchakni burish algoritmini, hech bo'lmaganda bittasi aniqlanmaguncha qo'llashimiz mumkin. Agar boshqasi bu jarayonda tuzatib qolsa, biz omadga egamiz va endi biz echiladigan kubga qaytdik. Umuman olganda, burchaklarning yo'nalishlari uchta usuldan biriga o'tishi mumkin.

Birinchi omil 2 ga o'xshash. Ikkala qirralarning har birini almashtiradigan algoritm mavjud, ammo hech bir algoritm bitta qirrani joyida aylantira olmaydi. Shunday qilib, istalgan miqdordagi o'ralgan qirralarni bitta chekkaga siljitish mumkin, bu esa ikkita imkoniyat uchun aylantiriladi yoki aylanmaydi.

Oxirgi omil 2, aslida qirralarni va burchaklarni o'z ichiga oladi, lekin biz uni qirralarning diagrammasida ko'rsatdik. Ikkala burchakni almashtiradigan va ikkita qirrani almashtiradigan algoritm mavjud. Faqat bir juft burchakni yoki faqat bir juft qirralarni almashtiradigan algoritmlar mavjud emas.

Agar sizda kub bo'lsa, ikkita qirrasini echib oling va ularni almashtiring, siz bizning jadvalimizdagi ikkita ustunga o'tasiz - 1 yoki 3 ustunlar orasida yoki 2 va 4 orasida. Xuddi shu narsa, agar siz bir juft burchakni almashtirsangiz. Ammo juft qirralarni va juft burchaklarni almashtirish bir- birini bekor qiladi, chunki buni bekor qilish algoritmi mavjud.

Ushbu bo'linishning har bir omilini 12 ga qarab tushuntirib beradigan bo'lsak, siz (3 8 8!) (2 12 12!) / 12 da to'liq rasmga egasiz . Kubiklarni kubga qo'yishning (3 8 8!) (2 12 12!) Usullari mavjud, ammo ularning har 12 tasidan bittasini echilgan kubga boshqarish mumkin. Demak (3 8 8!) (2 12 12!) / 12 - bu Rubik kubini bir-biridan ajratmasdan aylantirish usullarining soni.

Pop Mech Rubik Cube isboti

Endi, agar siz qiziquvchanlik bilan o'ylayotgan bo'lsangiz, oxirgi xatboshilaridagi ba'zi da'volar uchun isbot talab qilishingiz mumkin. "Biron bir kubikni boshqa biron bir kubikni harakatlantirmasdan aylantiradigan algoritm yo'qligini" isbotlaydigan chuqurroq matematikalar bormi? Siz pul tikasiz. Ushbu matematik dalil taxminan qanday davom etadi:

Siz (3 8 8!) (2 12 12!) / 12 ni o'rganib chiqdingiz, kubning konfiguratsiyasi soni, bu kubni o'rganadigan matematik uchun faqat dastlabki. Matematikaga chuqurroq kirish uchun siz umumiy meta-savolni o'ylashingiz mumkin: "Ushbu mavzu bo'yicha javobsiz matematik savollar bormi?"

Xudoning soni va undan tashqarida

Albatta, kubning asl muammosi uni hal qilish edi. Ernu Rubik o'zining birinchi prototipini 1974 yilda yaratgan va olti yil boshida uni ommaviy ishlab chiqarishni ko'rish uchun u tabiiy ravishda kubni hal qilgan birinchi odam edi.

1980 yilda kub o'yinchoq do'konlariga tushganda, ba'zi matematiklar bir necha yil davomida dastlabki versiyalar bilan tajriba o'tkazgan edilar. Ulardan biri doktor Devid Singmaster bo'lib, u mashhur "Rubikning" Sehrli kubi "ga eslatmalar" yozgan va kub yuzlarining burilishini tasvirlash uchun yozuv uslubini ishlab chiqqan. Ushbu yozuv standart bo'lib qoldi va endi Singmaster notation sifatida tanilgan.